设a为n阶对称矩阵b为n阶可逆矩阵

摘要： 设a为n阶对称矩阵，b为n阶可逆矩阵，那么，ab是否为对称矩...

设a为n阶对称矩阵，b为n阶可逆矩阵，那么，ab是否为对称矩阵？

我们可以通过定义和性质来分析这个问题。对称矩阵是指一个矩阵A，当满足A^T=A时，我们就称其为对称矩阵，其中A^T表示A的转置。而可逆矩阵，是指一个矩阵，在乘以一个逆矩阵之后能够得到单位矩阵，这意味着可逆矩阵能够通过乘以一个逆矩阵来恢复原始数据。

假设ab为对称矩阵，那么，我们需要证明(ab)^T=ab。由于矩阵乘法不满足交换律，即ab不一定等于ba，因此，我们需要进一步考虑a和b的性质。

1.当a和b都为实对称矩阵时，由于实对称矩阵与它的转置相等，即a^T=a，b^T=b，那么，(ab)^T=b^Ta^T=ba。由于b为可逆矩阵，我们可以得到ba=ab，因此，ab是实对称矩阵。

2.当a和b不全为实对称矩阵时，ab不一定是对称矩阵。

拓展资料：

1.可逆矩阵的性质：可逆矩阵的逆矩阵也是可逆的。

2.对称矩阵的性质：对称矩阵的特征值一定是实数。

3.对称矩阵的对角化：对称矩阵可以经过正交变换化为对角矩阵。

4.可逆矩阵与行列式的关系：一个n阶矩阵是可逆的当且仅当它的行列式不等于0。

5.对称矩阵的秩等于它的非零特征值的个数。

总的来说，设a为n阶对称矩阵，b为n阶可逆矩阵，ab是否为对称矩阵，取决于a和b的具体性质。当a和b都为实对称矩阵时，ab是对称矩阵；否则，ab不一定是对称矩阵。