e的x次方sinx的平方dx的不定积分

摘要： e的x次方sinx的平方dx的不定积分的解为：∫e^x*si...

e的x次方sinx的平方dx的不定积分的解为：

∫e^x*sin^2(x)dx=e^x*(sin(x)-cos(x))+C

在求解这个不定积分时，我们可以利用分部积分法。首先选择u=e^x，dv=sin^2(x)dx。然后，我们需要找到v和du。

v=∫sin^2(x)dx，可以使用半角公式进行求解，v=x-sin(x)cos(x)。

du=de^x=e^xdx。

接下来，我们代入分部积分公式：

∫e^x*sin^2(x)dx=uv-∫vdu=e^x*(x-sin(x)cos(x))-∫e^x*(x-sin(x)cos(x))dx

我们需要再次使用分部积分法来解决∫e^x*(x-sin(x)cos(x))dx。这次选择u=x-sin(x)cos(x)，dv=e^xdx。然后，我们需要找到v和du。

v=∫e^xdx=e^x

du=(1-cos^2(x))dx=sin^2(x)dx

代入分部积分公式，得到：

∫e^x*(x-sin(x)cos(x))dx=uv-∫vdu=e^x*(x-sin(x)cos(x))-∫e^x*(x-sin(x)cos(x))dx

整理后，得到：

∫e^x*(x-sin(x)cos(x))dx=e^x*(x-sin(x)cos(x))+C

将这个结果代入原来的积分表达式，我们得到最终的答案：

∫e^x*sin^2(x)dx=e^x*(sin(x)-cos(x))+C

拓展资料：

1.分部积分法是求解不定积分的一种常用方法，适用于被积函数是乘积形式的情况。

2.半角公式是三角函数中的一种重要公式，可以将sin^2(x)和cos^2(x)表示为1的一半。

3.e^x是自然对数的底数e的x次方，是一个非常重要的数学常数。

4.不定积分是微积分中的基本概念，它是求导数的逆运算。

5.在求解不定积分时，有时需要多次使用分部积分法。

综上所述，e的x次方sinx的平方dx的不定积分通过分部积分法可以得到解为e^x*(sin(x)-cos(x))+C。这种方法对于处理类似形式的积分问题具有普适性。