31的30次方被13除所得余数是多少

摘要： 31的30次方被13除所得余数是1。这个问题的答案可以通过一...

31的30次方被13除所得余数是1。

这个问题的答案可以通过一个叫做“中国剩余定理”的数学理论得出。31的30次方除以13的余数，可以转化为求解以下同余方程组：

x≡31^30(mod13)

为了解决这个问题，我们可以使用费马小定理。根据费马小定理，如果p是一个质数，而a不是p的倍数，那么a的p-1次方除以p的余数为1。在这个问题中，p=13，a=31，而31不是13的倍数，所以31^12≡1(mod13)。

然后我们可以将30次方写成12的倍数加上一个不超过12的数，即30=2*12+6。所以，31^30=31^(2*12+6)=31^12*31^12*31^6。

根据上述的结论，31^12≡1(mod13)，所以31^30≡31^6(mod13)。再次使用费马小定理，我们可以计算出31^6≡1(mod13)。所以，31^30≡1(mod13)。

拓展资料：

1.费马小定理：如果p是一个质数，而a不是p的倍数，那么a的p-1次方除以p的余数为1。

2.中国剩余定理：给定一组同余方程，可以找到一个解满足所有的同余方程。

3.同余方程：如果两个整数a和b在模m意义下同余，那么它们对模m的余数是相同的，写作a≡b(modm)。

4.质数：只能被1和它本身整除的正整数。

5.欧拉定理：如果a和n互质，那么a的φ(n)次方除以n的余数为1，其中φ(n)是小于或等于n且与n互质的正整数的个数。

所以，31的30次方被13除所得余数是1，这个问题的解决过程展示了数学理论在解决实际问题中的应用。